Pumunta sa nilalaman

Paktoryal

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya
Mga paktorial na nakapipili; pinapantay ang mga saysay sa notasyong pang-agham
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 1.551121004×1025
50 3.041409320×1064
70 1.197857167×10100
100 9.332621544×10157
450 1.733368733×101000
1000 4.023872601×102567
3249 6.412337688×1010000
10000 2.846259681×1035659
25206 1.205703438×10100000
100000 2.824229408×10456573
205023 2.503898932×101000004
1000000 8.263931688×105565708
10100 1010101.9981097754820

Sa matematika, lalo na sa kombinatorika, ang paktoryal (Ingles at Kastila: factorial) ng isang di-negatibong buumbilang , itinala ng , ay pagpaparami ng lahat ng mga positibong buumbilang menos kaysa o katumbas sa . Ang paktoryal ng din ay katumbas sa bunga ng at kasunod na mas maliit na paktoryal:

Halimbawa,

Ang saysay ng 0! ay 1, ayon sa kumbensyon para sa isang basyong bunga (Ingles: empty product).

Nadiskubre ang mga paktoryal ng maraming sinaunang kultura, lalo na sa matematikang Indiyano sa kanonikong mga obra ng panitikan ng Hainismo, at ng mga mistikong Hudyo sa Talmudikong aklat Sefer Yetzirah. Hinahanap ang operasyong paktoryal sa maraming sangay ng matematika, lalo na sa kombinatorika, kung saan ang pinakabasal na paggamit ay bumibilang ng mga posibleng natatanging sekwensiya — mga permutasyon — ng natatanging bagay: may . Sa pagsusuring matematikal, ginagamit ang mga paktoryal sa mga makapangyarihang serye para sa eksponensiyal na punsiyon at ibang mga punsiyon, at saka may mga aplikasyon sa alhebra, teorya ng bilang, teorya ng probabilidad, at agham pangkompyuter.

Nilinang ang karamihan ng matematika ng punsiyong paktoryal noong huling bahagi ng ika-18 at unang bahagi ng ika-19 na mga siglo. Idinudulot ng aproksimasyon ni Stirling ang tamang aproksimasyon ng mga paktoryal ng mga malalaking bilang, at ipinapakita na lumalaki mas mabilis kaysa sa eksponensiyal na paglaki. Inilalarawan ng pormula ni Legendre ang mga eksponente ng mga pangunahing bilang sa pangunahing paktorisasyon ng mga paktoryal, at nagagamit para sa bumilang ng pinal na mga sero ng mga paktoryal. Nagamit nina Daniel Bernoulli at Leonhard Euler ang paktoryal na punsiyon sa patuloy na punsiyon ng mga komplikadong bilang, kundi sa mga negatibong mga buumbilang, sa madaling salita, ang punsiyong gama (Ingles: gamma function, o Γ).

Ang maraming ibang sikat na mga punsiyon at mga sekwensiya ng bilang ay malapit na kaugnay sa mga paktoryal. Mga ito ay sumasaklaw ng koepisyenteng binomyal, ng dobleng paktoryal, ng paktoryal na nagbabawas, ng primoryal, at ng subpaktoryal. Ang mga implementasyon ng paktoryal na punsiyon ay karaniwan na ginagamit para sa ipakita ang mga estilo sa pagpoprograma sa kompyuter, at sinasaklaw sa mga kalkulador pang-agham.